ملخص شامل في الرياضيات — السنة السابعة أساسي (الثلاثي الأول)

مقدمة

يغطي هذا الملخص أهم دروس الثلاثي الأول لمادة الرياضيات بالسنة السابعة من التعليم الأساسي، مقسّماً إلى محورين رئيسيين: الأعداد والعمليات، والهندسة. تم التركيز بشكل خاص على قاعدة إجراء العمليات الحسابية من اليسار إلى اليمين، وهي القاعدة التي يقع فيها أغلب التلاميذ في الخطأ.

المحور الأول: الأعداد والعمليات

1. القسمة الإقليدية (القسمة على عددين صحيحين)

لكل عددين صحيحين طبيعيين a (المقسوم) و b (المقسوم عليه، غير معدوم)، توجد كتابة وحيدة على الشكل:

a = b × q + r حيث 0 ≤ r < b

• q يُسمى خارج القسمة
• r يُسمى باقي القسمة

مثال: قسمة العدد 375 على 8: 375 = 8 × 46 + 7 (لأن 8 × 46 = 368 و 375 − 368 = 7، والباقي 7 أصغر من 8 فالقسمة صحيحة)

ملاحظة مهمة: يقال إن b يقسم a (أو a مضاعف لِـ b) إذا كان باقي القسمة الإقليدية لـ a على b معدوماً (r = 0).

2. الأعداد الأولية وقواسم عدد

العدد الأولي هو عدد صحيح طبيعي أكبر من 1، له قاسمان فقط هما 1 والعدد نفسه.

قواعد أساسية للتذكر:

• كل عدد أولي له قاسمان فقط (1 ونفسه).
• العدد 1 ليس عدداً أولياً.
• العدد 2 هو العدد الأولي الوحيد الزوجي، وبقية الأعداد الأولية كلّها فردية.

مثال تطبيقي:

• 128 ليس عدداً أولياً لأنه عدد زوجي مضاعف لـ 2 (128 = 2 × 64)، وله قواسم أخرى مثل 1، 2، 4، 32…
• 121 ليس عدداً أولياً لأنه يقبل القسمة على 11 (121 = 11 × 11)، فقواسمه هي 1، 11، 121.
• 57 ليس عدداً أولياً لأنه يقبل القسمة على 3 و19 (57 = 3 × 19)، فقواسمه هي 1، 3، 19، 57.

كيف نتحقق أن عدداً أولي؟ نجرّب قسمته على الأعداد الأولية الصغرى بالترتيب (2، 3، 5، 7، 11…) حتى يتجاوز مربع خارج القسمة العدد نفسه، فإن لم يقبل القسمة على أيٍّ منها فهو عدد أولي.

3. القوى (الأُسس)

القوة aⁿ تعني ضرب العدد a في نفسه n مرة:

aⁿ = a × a × … × a (n مرة)

القوانين الأساسية للقوى:

أمثلة محلولة:

• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
• 2⁵ + 2⁵ = 2 × 2⁵ = 2¹ × 2⁵ = 2⁶
• A = 17⁵ × 17³ × 17⁷ = 17^(5+3+7) = 17¹⁵
• B = 11⁷ × 9⁷ = (11 × 9)⁷ = 99⁷
• b = 25 × (5³)² = 5² × 5⁶ = 5⁸

4. أولويات العمليات (الترتيب من اليسار إلى اليمين) ⭐

هذه هي أهم قاعدة يجب إتقانها هذا الثلاثي، وأكثر نقطة يُخطئ فيها التلاميذ.

القاعدة الذهبية:

عندما تكون العمليات من نفس الرتبة (جمع وطرح فقط، أو ضرب وقسمة فقط)، تُنجَز العمليات وجوباً بالترتيب من اليسار إلى اليمين، دون أي استثناء.

ترتيب الأولويات الكامل:

1. أولاً: ما بين الأقواس ( ) — من الداخل إلى الخارج
2. ثانياً: القوى (الأُسس)
3. ثالثاً: الضرب والقسمة معاً — بالترتيب من اليسار إلى اليمين
4. رابعاً: الجمع والطرح معاً — بالترتيب من اليسار إلى اليمين

تحذير شائع: كثير من التلاميذ يعتقدون خطأً أن الضرب “يُنجز قبل” القسمة دائماً، أو أن الجمع “يُنجز قبل” الطرح دائماً. هذا خطأ! فإذا كانت العملية تحتوي على ضرب وقسمة متتاليين (أو جمع وطرح متتاليين)، فإن الترتيب الوحيد المعتمد هو الترتيب من اليسار إلى اليمين، بغض النظر عن نوع العملية.

مثال 1 (جمع وطرح فقط ← من اليسار إلى اليمين):

(2022 − 1121) − (2021 − 1121) = 901 − 900 = 1

مثال 2 (قوى ثم ضرب وجمع، مع التزام الأولويات):

2² × 5 + 7 = 4 × 5 + 7 (نحسب القوة أولاً) = 20 + 7 (الضرب قبل الجمع لأنهما رتبتان مختلفتان) = 27

مثال 3 (قوس ثم قوة):

5² + (9 − 8)¹⁷ = 25 + (1)¹⁷ (نحسب داخل القوس أولاً) = 25 + 1 = 26

مثال 4 (استعمال التوزيع لتسهيل الحساب من اليسار إلى اليمين):

17 × 13 − 13 × 16 = 13 × (17 − 16) (وضع 13 عامل مشترك) = 13 × 1 = 13

(ملاحظة: هذا مثال على تبسيط العملية باستعمال خاصية التوزيعية، وهي تقنية حساب ذهني سريع تُستعمل بديلاً عن الحساب المباشر عندما تُسهّل الأرقام ذلك، لكن دون تلك التقنية تبقى القاعدة الأساسية هي احترام الأولويات والترتيب من اليسار إلى اليمين).

تمرين تطبيقي محلول:

إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث a + b = 15، فاحسب:

(a − 2⁷) + (b + 2⁷) = a + b = 15 (لأن −2⁷ و +2⁷ يلغيان بعضهما، فتبسيط الأقواس أولاً هو المفتاح)

4 × a + 4 × b − 5² = 4 × (a+b) − 25 = 4 × 15 − 25 = 60 − 25 = 35

المحور الثاني: الهندسة

1. المستقيمات المميّزة في المثلث

في كل مثلث، توجد أربعة أنواع من المستقيمات المميزة، ولكل نوع نقطة تلاقي خاصة بها:

2. خصائص المثلثات الخاصة

المثلث متقايس الضلعين (متساوي الساقين):

• له ضلعان متقايسان (الساقان)، والضلع الثالث يُسمى القاعدة
• الزاويتان المجاورتان للقاعدة متقايستان
• الموسط العمودي للقاعدة يمر من القمة الرئيسية، ويحمل في آنٍ واحد صفة الارتفاع، ومنصف الزاوية، والمتوسط الصادر من تلك القمة

المثلث متقايس الأضلاع (متساوي الأضلاع):

• أضلاعه الثلاثة متقايسة، وزواياه الثلاث متقايسة (60° لكل زاوية)
• المستقيمات المميزة الأربعة (الموسطات، المنصفات، الارتفاعات، المتوسطات) تتطابق فيه، ونقاط تلاقيها الأربع (مركز الدائرة المحيطة، المحاطة، المركز القائم، مركز الثقل) هي نفس النقطة

المثلث قائم الزاوية:

• له زاوية قائمة، وزاويتان حادتان
• الضلع المقابل للزاوية القائمة يُسمى الوتر
• منتصف الوتر متساوي البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة، وهو نفسه مركز الدائرة المحيطة بالمثلث

3. الموسط العمودي لقطعة مستقيم

الموسط العمودي لقطعة مستقيم [AB] هو المستقيم العمودي على [AB] والمار من منتصفها.

الخاصية المميزة (يجب حفظها جيداً):

كل نقطة تنتمي للموسط العمودي لقطعة [AB] تكون متساوية البعد عن A وعن B، والعكس صحيح.

تطبيق: إذا كان المثلث ABC متقايس الأضلاع (AC = AB) و I منتصف [BC]، فإن (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC]، ومنه (AI) ⊥ (BC).

4. الزوايا

• الزاويتان المتجاورتان: لهما نفس الرأس وضلع مشترك، وتقعان على جانبين مختلفين من الضلع المشترك.
• الزاويتان المتكاملتان: إذا كان مجموع قيسيهما يساوي 90°.
• الزاويتان المتتامتان: إذا كان مجموع قيسيهما يساوي 180°.
• الزاويتان المتقابلتان بالرأس: ناتجتان عن تقاطع مستقيمين، ولهما نفس القيس (متقايستان).
• منصف الزاوية: المستقيم الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متقايستين.

خلاصة: أهم النقاط الواجب إتقانها هذا الثلاثي

1. إتقان القسمة الإقليدية وتحديد الخارج والباقي بدقة.
2. التمييز بين الأعداد الأولية وغير الأولية عبر البحث عن القواسم.
3. حفظ قوانين القوى الخمسة الأساسية وتطبيقها بثقة.
4. الالتزام الصارم بقاعدة الترتيب من اليسار إلى اليمين عند تتالي عمليات من نفس الرتبة (جمع/طرح أو ضرب/قسمة)، مع احترام أولوية الأقواس ثم القوى ثم الضرب/القسمة ثم الجمع/الطرح.
5. حفظ جدول المستقيمات المميزة في المثلث ونقاط تلاقيها الأربع.
6. إتقان خاصية الموسط العمودي وتوظيفها في البرهان الهندسي.

ملخص مُعدّ خصيصاً لمراجعة الثلاثي الأول – السنة السابعة أساسي – مادة الرياضيات.

للاطلاع على الملفات وتحميلها بروبط تحميل مباشرة

File	File size	Downloads
ملخص-الرياضيات-السنة-السابعة-الثلاثي-الأول	6 ميغابايت	3